——“神奇的数阵图”
陕西省安康市汉滨区坝河镇坝河九年制学校兴隆教学点 尚小龙
摘 要: 巧填数阵图是小学数学课堂上思维拓展训练方式之一,有一定的难度和深度。怎样把原本枯燥无味的数学思维课上得即好玩有趣,又能让孩子们容易接受是我们数学课堂教学一直默默追求的方向。本文以辐射型数阵图、封闭型数阵图为例,探索总结学习数阵图的新方法和新途径,在给学生讲解数阵图的教学中,变成好玩的数学,笔者尝试用浅显易懂的方法,让学生更加喜欢探索神秘的数学。
关键词: 数阵图 兴趣 重叠数 数和 线和
在神奇的数学王国中,有一类数字迷宫,它神秘有趣,变化多端,且富有挑战性,它是一种锻炼头脑、发展智力的趣味活动,它就是数阵图。如果你掌握了巧妙的破解之法,解决起来就轻松多了。笔者,尝试探索总结了两类数阵图巧解的新方法和新途径,教学中才能组织学生采用"玩"的方式,高效地探索这类数学问题,体验到"玩"数学的乐趣。
一、 认识数阵图
什么是数阵图呢?数阵图就是把一些数字按照要求,填在某一特定图形的规定位置上,能保证数阵中特定关系线上的数的和相等。数阵图常见的三种形式:辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图。具体的数阵图种类繁多、千变万化,新奇有趣,但有一定的难度。
二、 巧解秘诀
我们在巧解数阵图时,要善于寻找所求的和与重叠数间的关
系,用试算(或计算)的方法,认真观察、分析数阵图的内在规律,找到相等的和与重叠数,按步骤求解。巧解阵图时不要急于求成,乱填乱试,毫无章法。其关键就是找到重叠数和每条线上数的和,从而培养学生的观察能力,提高学生思维的灵活性和严密性。本文主要通过巧填数阵图,运用掌握的数学知识来此类问题。
有一种神奇的数阵图,我们称它们为辐射型数阵图,这种图形
是从一个中心点向外扩展作了几条射线构成的神秘图形。这类型图形巧填的秘诀就在于确定重叠数和每条直线上的几个数的和,然后进行对比、分析,通过试算(或计算)巧填求解。还有另外一种数阵图,它的各边之间因相互连接而形成封闭的图形,我们把这种数阵图叫做封闭型数阵图。对于这样的的图形,我们要根据题目中所给的已知条件,进行综合分析,用试算(或计算)的方法确定重叠数以及各边上的数字之和,最后巧解数阵图。
数阵图的解题关键是找重叠数(数阵图中被重复使用了很多次的数。如下图五角星盖住的部分所示),解题步骤可分为两步:第一步确定重叠数。方法一试算的方法,口诀为"试头试尾试中间";方法二推算的方法,口诀为:求和比较找原因。"求和"有两层含义一是求数和(就是求出所给的各个数字的总和),二是求线和(同一条边上各个数的和,同一圆上各个数的和等等)。"比较"就是求差值,找出线和大于数和的原因,即确定重叠数。第二步是其他数的分组,口诀为"两两配对和相同,大小拉手是亲朋"。掌握了此种技巧,这类神奇的图形就能轻松拿下。
三、 小试牛刀
(一)辐射类
要巧填这类数阵图,你可能会觉得这类题太容易了,七拼八凑就得出了答案,可是却搞明白其中的道理,只有弄明白其中规律,才可能解出更复杂的数阵问题。
下面我们就一起来按照上面的步骤来巧填此类型的数阵图。
1、将1,2,3,4,5,6六个数两两凑成一对,使得每一对的和都相等,该如何进行搭配?
分析与解:此题可以将这组数字按从小到大的顺序排列,最小数字1与最大数字6搭配,数字2与数字5搭配,数字3与数字4搭配,它们的和都是7。概括为"两两配对和相同,大小拉手是亲朋"的规律,这也就是"大小拉手"规律,或称之为"大小搭配"规律。
2、把1,2,3,4,5,6,7这七个数分别填入圆圈里,使每条直线上三个数的和都相等,一共有多少种方法?
分析与解:中间重叠数比较特殊,没有告诉我们,但我们可以从这个重叠数入手,假如这个重叠数不算,那么每条直线上剩下的2个数的和还是相等的。我们先将这组数排列(按从小到大或从小到大的顺序),选择最中间的那个数字4,也可找特殊的数(最小的数字1、最大的数字7),填入重叠的位置分别尝试,所以重叠数可以填1、4、7。再结合"大手拉小手"的规律,很快就会得出如下的的结果:
规律:先排序,找特殊位置上的数(最小的数、中间的数、最大的数,概括为"试头试尾试中间"的规律),求和,再确定其它数(概括为"大手拉小手"规律)。
3、将1,3,5,7,9,11,13这七个数分别填在下图的圆圈里,使每条直线上三个数的和都是21。
分析与解:中间重叠数虽然没有告诉我们,但我们知道每条直线的三个数的和都是21。一般情况下,有两种解法:
① 试算法。按照"试头试尾试中间"的规律,将这组数字按从小到大的顺序排列,我们可以选择"头"(第一个数)就是数字1,"尾"(最后一个数)就是数字13,"中间"(中间的数)就是数字7,填入重叠的位置分别尝试,结合"大手拉小手"的规律分别尝试,当中间填入7时,结果使每条直线上三个数加起来的和是21。
② 推算法。计算数和(计算1,3,5,7,9,11,13这7个数的和):13+11+9+7+5+3+1=49,计算线和(每条直线上3个数加起来的和是21,有三条直线,说明有3个21):21+21+21=63,计算差值(比较一下,线和比数和大多少):63-49=14,确定重叠数(为什么会相差14呢?原来重叠数多算了两次,哪个数多算两次是14呢?
也就是说哪个数乘2等于14):14÷2=7。重叠数确定后,再结合"大手拉小手"的规律,剩下的1、3、5、9、11、13可以按"大小搭配"规律两两组合,1+13=3+11=5+9,分别填在圆圈中,轻而易举地得出如图的解法。
(二)封闭型
这类题型它是有规律有方法有技巧的,核心考的是运算能力和推理能力,你得明白其中到底应该从哪儿思考呢?关键在于想方设法找出交叉处的重叠数是解决此类数阵问题的头破口。如下面的数阵图,我们可以用推算法快速完成。
1、将1,2,3,4,5,6这六个数分别填入下图中的圆圈里,4已经填好,使两个大圆上4个数的和都等于14,每个数只能使用1次。
分析与解:此题推算法可以大显身手了,两个大圆,每个圆只需填三个数,考虑哪个数是公用的。首先计算出数和(1,2,3,4,5,6这六个数的和):1+2+3+4+5+6=21。其次计算出线和(题目要求每个大圆的和为14,那么两个大圆的和):14+14=28。接着计算差值(线和比数和大,是因为线和多算了一次重叠位置上的数):26-21=5。再者确定重叠数(重叠位置是由1和另外一个数组成的):5-1=4,另一个重叠位置应该填4。最后剩下2、3、5、6可以按"大小搭配"规律两两组合,2+6=3+5,分别填在圆圈中,虽答案不唯一,合理即可。
2、把1、2、4、5、6、11这6个数分别填入图中的圆圈内,使每个大圆上的4个数的和都等于22。
分析与解:分析题干,此题可用推算法解答。从数字和入手,看看两个圆中的数字和比6个数字的和多多少,从而决定交叉处的重叠部分。数和: 1+2+4+5+6+11=29,而每个大圆圈上的四个数字之和都是22,线和:22+22=44,差值:44-29=15,两个大圆数字线和比数和多出了15,也就是中间的重叠部分的两个数字的和应该为15,只有4+11=15,4和11作为重叠部分的两个数,另外左边按"大小拉手"规律填入1和6,右面填入2和5即可(如上图所示)。
数阵图是一种十分巧妙的填数游戏,可以是辐射型的、封闭型的、复合型的。巧填数阵,不能靠七拼八凑来解决问题,而是需要我们仔细观察,找到突破口,按照本文的巧填方法,轻松破阵。学习数阵图,可以训练学生的思维,培养学生的分析及解决问题的能力。它看起来简单,但是如果不掌握一些方法,填起来也并不轻松。只有我们不断探索总结学习数阵图的新方法和新途径,从学生的实际出发,以育人为本,我坚信我们的学生会爱上神奇的数阵图,在神秘的数学王国自由翱翔!