新疆乌鲁木齐市第六十一中学 殷建强
摘 要:在用安培表和伏特表测定电池的电动势和内阻的实验中,由于电表内阻的原因,存在着一个系统误差,而且由于电表接法的不同,所带来的系统误差也不同。对于此误差,有利用图象法进行讨论的,也有利用解析法进行讨论的。本文将利用等效电源的方法来讨论这一问题。与一般的解析分析方法相比,该方法优点在于既可以避免较繁杂的计算,又有很清晰的物理图象,对于学生较为深入地理解电表的不同接法所导致的不同的系统误差的起因具有很好的启发作用。
关键词:测电动势和内阻 有源二端电路网络 等效法 系统误差分析 简洁优美
一、实验原理的简述
若实验所用电表为理想电表,既安培表内阻RA=0,伏特表内阻RV=∞,则无论使用图(1)中的内接法或是图(2)中的外接法,在不计偶然误差的情况下,所得到的实验结果都是相同的。
当改变变阻器的阻值时,可得到安培表和伏特表的两组读数:(U1,I1)和(U2,I2 )。根据欧姆定律:
U1=I1r测 (1)
U2= I2r测 (2)
解得: (3)
r测= r真= (4)
以上即为在理想情况下(RA=0,RV=∞)该实验的原理。然而,由于实际的安培表内阻不可能为零,而实际的伏特表内阻也不可能为无穷大,所以无论是用图(1)还是图(2)的电路测量所得到的结果均存在系统误差,而且在两种情况下其系统误差亦不相同。
二、利用等效电源法分析系统误差
何为等效电源呢?如右图所示, A B
对任一有源二端电路网络,无论其
内部的具体电路结构如何,我们总 等效电源示意图
可以将其视为一个等效电源,其等效电动势为两个端点A,B之间的开路电压UAB,其等效内阻为从 A,B两端看,除源网络(将网络内部的电动势短路)的电阻。
这样我们可以将图(1)、图(2)所示电路分别加以改造,将实际的安培表视为一个理想安培表与一个电阻RA串联,而将实际的伏特表视为一个理想的伏特表与RV并联,则图(1)图(2)分别变为图(3)、图(4):注意,在图(3)(4)中由于电表的内阻均已被分离出来,故两图中所有的电表均可视为理想电表,而两图中虚框中的部分均可视为等效电源。利用前面(1)─(4)式的计算结果,可以得到:
= (5)
r测= r等效= (6)
以上两式对于图(3)、(4)均成立,差别在于图(3)、图(4)中等效电源的与的关系并不相同。显而易见,根据前述的定义,对于图(3)、图(4),我们分别得到以下关系:(将两图中虚框中的等效电源部分由a、b、a1、b1各点断开,分离出来单独考虑)
图(3) (7)
(8)
图(4) (9)
(10)
因此,由上(7) (10)式,我们得到以下关于图(1),图(2)两图的系统误差的分析结果:
图(1) (11)
(12)
图(2) (13)
(14)
三、关于分析结果的一些讨论
我们可以对上面所得结果的物理图示作一些直观的讨论。首先,由图(1)、图(3)两图的比较可以看出,由于采用安培表内接法,伏特表的内阻实际上对实验结果没有影响,而安培表内阻RA对实验结果的影响在于:由于它与电池内阻串联,因而在其两端产生了一个额外的分压,从而使得电池的表观内阻r测要比其真实内阻r真大。事实上,r测= r真+RA 。另一方面,也正由于RA与电池串联,所以当电路由a、b 两点间断开时,(也就是当安培表读数为零时,伏特表上的读数)与电池正负两极间的开路电压相同,因此,由这种方法测出的电动势与电池的真实电动势相同。总之,由图(1)所示的电路,伏特表内阻对实验结果无影响;安培表内阻只影响电池内阻的测量结果,而不影响电动势的测量结果。
其次,由图(2)、图(4)两图的比较可以看出,由于安培表采用外接法,安培表的内阻实际上对实验结果没有影响,而伏特表内阻RV对实验结果的影响表现为两个方面:(1)即使当安培表的读数为零时,由于RV的分流作用,通过电池的电流并不为零,使得伏特表上的读数并不是电池正负两极的开路电压,因而造成测得的电动势小于真实电动势;(2)由于RV的分流作用,使得电池的表观内阻要小于其真实内阻。事实上,是与RV并联后的总电阻,即:。因此,由图(2)的电路所测得的电池电动势与内阻均比其真实值小。
从理论上讲,只要满足RA 0 ,RV ∞(相对电源内阻), 图(1)、图(2)均可采用,但事实上,中学配备的安培表内阻与电源内阻比较接近,不能满足RA 0 的条件。若采用图(1)电路,根据(7)、(8)两式可知,虽然电动势的测量值等于真实值,但内阻的测量值误差较大。伏特表内阻一般都是几千欧或几十千欧,远远大于电源内阻,可以近似为RV ∞,若采用图(2)电路,根据(9)、(10)两式可知,虽然电动势和内阻的测量值都小于真实值,但由于RV很大其测量误差都很小。因此,在实际的实验操作中,应采用图(2)电路进行测量,这样可减小系统误差。
以上便是利用等效电源的方法来分析系统误差及对这一误差的理解过程。实际上这种处理方法所依据的还是有关电路最基本的规律:欧姆定律,电压、电流的分配关系。用等效电源来进行分析只不过是换一角度来处理问题罢了,但逻辑上、数学上更简洁明了,就象在处理运动学问题时,可以采用不同的参照系,但处理问题的原则没有变。
物理学是人们对物质世界基本规律的认知与描述,它要求逻辑上的简洁与质朴,比如人们对宇宙的认识从地心说到日心说再到无中心说,只是因为数学描述上更简洁,更优美,同时人们对宇宙的认识达到了前所未有的高度。再如狭义相对论的创立使得洛仑兹那一堆丑陋的变换公式有了自然合理的解释,所以在物理研究上追求形式上的简洁,逻辑上的自然合理是其本身的一种要求,得到结果往往不是形式上的。用等效电源法来处理问题,在中学阶段看来仅仅是研究角度的一个巧妙变化,但如果能够把所学知识多进行类似的处理,能够培养学生的发散思维能力,对学生对物理规律的美的体认能力起到潜移默化的效果,故笔者认为这样处理类似物理问题是非常有益的。