陕西省商南县初级中学 阮 洋
数学思想方法是数学最本质、最具价值的内容,因为它是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中,经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识。那么中学数学中主要的思想方法有哪些?
一、化归思想
在处理和解决数学问题时,把一个复杂、陌生的问题,转化为简单的、熟悉的问题来解决的思想称为化归思想。其基本思想是:人们在解决数学问题时,常常是将待解决问题A,通过某种转化手段,归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式问题,且通过对问题B的解决可得原问题A的解答。化归思想是根据主体已有的知识经验,通过观察、联想、类比等手段,把问题进行变换、转化直到化成已经解决或容易解决的问题的思想。即是以变化、运动、发展,以及事物间相互联系和制约的观点去看待问题,善于对所要解决的问题进行变形。学生一旦形成了化归意识,就能熟练地掌握各种转化,化繁为简,化隐为显,化难为易,化未知为已知,化一般为特殊,化抽象为具体等等。在中学数学中处处蕴含着化归思想,初三几何教材中,圆的有关计算是初中数学三角形有关计算,以及三角函数知识的拓宽和推广。由于教材本身存在着这种内在联系,在教学中就随时可启发学生回忆旧知识,以旧引新,将新问题化旧为旧知识。
例如正多边形的有关计算,它是建立解直角三角形问题的基础上,化归思想在这一节内容的教学中主要体现在以下两个方面:①将正多边形的有关计算化归到直角三角形中,给学生指出,正多边形要计算的元素对应到直角三角形的元素,而直角三角形的有关计算有三角函数,勾股定理等。这样就把陌生的问题归结转化为简单易于解决的问题。②通过典型的例题渗透化归思想。
初中代数方程的解法,二次函数知识的学习,解决习题无处不体现化归的思想。二元一次方程组的解决是建立在一元一次方程解法的基础上,因此引入代入及加减消元法转化为一元一次方程。一元二次方程的解法是建立在因式分解以及一元一次方程的基础上,而分式方程和一些简单的高次方程的解法更是化归思想的集中体现。二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的知识讲解过程也是从y=ax2到y=ax2+k又到y=a(x-h)2再到y=a(x-h)2+k。又如,对等腰梯形有关性质的探索,除了教材中利用轴对称方法外,还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法,把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
除此之外,很多知识之间都存在着相互渗透和转化:多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答……。
所以,在教学中,教师要创造条件,提供知识发生的背景材料,有意识地逐步揭示出新旧知识的层次性,讲清楚新旧知识的结合点,让学生在思考问题时能很好地将新旧知识有机地联系起来,对于培养学生的化归意识是有益的。
二、数形结合思想
一般地,人们把代数称为“数”而把几何称为“形”,数与形表面看是相互独立,其实在一定条件下它们可以相互转化,数量问题可以转化为图形问题,图形问题也可以转化为数量问题。数形结合思想,可以说是几何与代数最完美的结合,其实质是将抽象的代数问题转化为直观的几何图形,通过对几何图形处理,实现抽象代数与具体形象的几何图形的联系和转化,从而达到化难为易,化抽象为直观的目的。比如,点与圆的位置关系,可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定,直线与圆的位置关系,可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定,圆与圆的位置关系,可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。再如,绝对值的几何意义,有理数的加法法则、乘法法则,不等式组的解集的确定都是利用数轴(或其它实图)归纳总结出来的;又如:初二数学推导完全平方公式,(a+b)2=a2+2ab+b2,我们可构造它的直观模型,从而通过“数”与“形”的对照来验证公式的正确性与合理性。
数学教学中渗透了数形结合的内容。在数学教学中,由数想形,以形助数的数形结合思想,具有可以使问题直观呈现的优点,有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时,数形结合,有利于学生分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维,拓宽思路,迅速找到解决问题的方法,从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学,不仅能够提高学生数形转化能力,还可以提高学生迁移思维能力。教师应充分利用图形、图象使学生正确的理解和掌握所学的数学概念和知识,通过数形结合的思想方法分析,让学生逐步掌握数与形的对应并加以运用。正是数与形的有机结合才保证了代数和几何的统一性、共同性和实用性。
三、归纳思想
归纳法也称归纳推理,是从个别到一般的推理方法,即从两个或几个简称判断或特称判断(前提)得出一个新的全称判断(结论)的推理。数学中,由一些例题的解法总结出这类问题的一般解法或公式,或通过一些具体数据的计算结果来推出一般数学规律等,所使用的方法都是归纳法。例如,通过对圆周角不同情况的考察发现,当圆心在圆周角的一条边上时,它的度数等于它所对的弧的度数一半;当圆心在圆周角内时,它的度数等于它所对的弧的度数一半;当圆心在圆周角外部时,它的度数等于它所对的弧的度数一半,而圆周角与圆心关系只有这三种情况。于是推出圆周角的度数等于它所对的弧的度数一半,这是一个典型的完全归纳推理。归纳的方法是认识事物和发现真理的一种重要方法,通过探索的归纳思想,培养学生的创造性精神和思维方法。
当然,贯穿于教材中的数学思想方法还不止以上几种,教学工作的一个重要任务就是揭开数学严谨、抽象的面纱,将发现过程中的活生生的数学“返朴归真”地交给学生,在知识的获取过程中,有意识潜移默化地引导学生感受和领悟其中所蕴含的数学思想方法,正如“知时节”的春雨一样“润物细无声”。