江苏省江阴市实验小学 王 锦
"小数除法"部分作为第二学段"数与代数"领域中的内容,一直是五年级学生的学习难点,也是教师们教学的重点。作为数学知识中承上启下的重要一环,这一部分知识依托整数除的计算方法作为生长点,架起一座知识脉络的桥梁联结起小数与分数。在整数范围内,学生很容易掌握有余数除法中,余数究竟是多少的问题。但随着数系扩充,放到小数范围里,遇到小数除法却犯难:究竟小数除法中余数到底是多少呢?
问题凝视:五年级第五单元小数除法部分中,学生在完成“3.2÷5商是0.6时,余数是( )”、“7.3÷0.5=14······3请问计算正确吗?”此类问题时,总是不能正确地确定小数除法中余数的数值。
一、成因透视
针对练习中学生一知半解的现象,纵观教材的整体布局,深入教师的课堂教学,走近学生的理解方式,探究其内部隐含的原因,从中归纳出以下错误的根源。
1、教学目标的弱化
除法有两种基本意义:一种是包含除,一种是等分除,无论是哪一种,总是存在不能整除的情况,也就是在直观操作中不够分,有剩余的现象,这时候余数就有其存在的必要。而小数的出现恰恰解决了整数除法的遗留问题:余数,使计算结果得到更精确的表示。
小数除法的教学本质上仍为计算课,所以终究要回归算理与算法,结合实际情境,讲究“理法交融”的学习方式。教学例题9.6÷3时,学生第一次在列竖式计算的过程中往往出现这样的错误:当个位计算结束,把余数写成0.6。按照学生的理解,先把9元平均分成3份,每份3元,此时还剩下6角,那6角就是0.6元,这个时候剩下的余数应该是0.6。0.6再平均分成3份,每份0.2元,就是2角。
仔细分析,这个0.6对吗?从余数的角度去看,移下来的6在十分位上,表示的就应该是0.6,其次从题目情境出发,这里的6表示的是6角,也就是0.6元,再者0.6比除数3小,符合余数要比除数小,有理有据,完全正确。可是从算法的角度去看,这样的列竖式却不符合规范要求。小数除法按照计算方法,首先根据整数除法来进行计算,也就是说9.6÷3,把它看成96÷3计算,此时6只能单独移下来,一般不写成0.6的形式。但在算理的讲解中,学生必须认识到这个6表示的是6个十分之一,也就是0.6。
从教材分析以及不同教师对于计算课堂的设计来看,小数除法中的余数已经成为了计算过程的一部分,对于余数的写法(算法)和余数的理解(算理)存在不同步的现象。五年级之前余数是作为整数商后缀的必要手段,但伴随小数的出现,甚至到日后分数的进一步学习,余数的研究在慢慢淡化,所以计算课的教学目标更为偏重算理与算法。
2、商不变规律的误导
商不变的规律是四年级上册已经掌握的知识,但仍然让一批学生犯了难:被除数和除数同时乘或除以同一个相同的数(0除外),商不变,但是余数呢?翻阅四年级教材中对于商不变规律的探究中,所研究的例子都是能够整除的,对于有余数这一类的除法并没有涉及。学生的印象中只存在“商不变”这一个词,对于余数的变化模糊不清。
教材中唯一提到这一类情况是被除数和除数末尾有0的除法简便计算中。900÷40的简算中,通过验算,学生能清晰的感受到商不变规律对余数没有约束作用。通过分析算理,得到余数表示多少,关键看余数在哪一个数位上的结论。但是余数究竟为什么这么变化,缺乏进一步探究,造成了“一知半解”的现象,这种现象一直遗留到了五年级小数除法计算当中。
3、除法计算法则的误解
苏教版数学教材编排的计算教学,讲究环环相扣,层层递进,螺旋上升。教材从学习整数除法的计算法则,迁移到小数除法。伴随着数系的扩充,学生对除法计算的理解是由易到难,循序渐进,越来越抽象的。查阅一线数学教师关于计算课的研究,学生经历课堂的计算,分析,操作等过程后,大多数机械化的掌握了一套计算口诀:按整数除法计算,从高位算起,一位一位除,除哪商哪,有余数添0继续除,整数部分不够商1就商先0······此时学生只停留在会按照法则进行计算的层次上,对算理的理解是不透彻的,正因为对算理的理解不透彻造成了对余数的误解。
三、出路审视
1、整合联系,打通知识
从数学学习方式的角度去看,整数除法和小数除法两者之前存在并列关系,新的知识在学生原有的认知结构中能找到千丝万缕的联系。由此,针对于小数除法中余数究竟是多少的问题,就要从确定整数除法中余数的数值入手,采用类比迁移的思维方式,寻找新旧知识之间有关法则、规律、性质的联系,在分析探究的基础上实现对新知识的理解和掌握。
2、多方呈现,多元建构
奥苏泊尔的研究告诉我们,有意义的接受学习才能收到良好的学习效果。这种有意义的接受学习,体现在学生有学习知识的积极性,意味着在教师需要创造学生感兴趣的生活情境;这种有意义的接受学习,体现在新旧知识的联系中,意味着教师必须从与小数除法有关的整数除法入手,从商不变的规律导入,唤醒旧识。有意义的接受学习,更是学生在学习的过程中合作交流,主动探究,意味着教师必须精心设计教学环节,组织有趣的教学活动,学生在经历“提出问题——分析问题——解决问题——对比交流”的过程中,选择多种不同的方式理解确定余数的方法。